Recurrencia en Teoría Ergódica

Dr. Alejandro Maass

Universidad de Chile, Chile

Resumen

En esta charla recorreremos los diferentes paradigmas de recurrencia en sistemas dinámicos, partiendo en el resultado clásico de Poincaré avanzaremos hacia problemas de recurrencia en patrones más complejos y las herramientas que han permitido avanzar con estos problemas. Una de ellas los llamados cubos dinámicos que han permitido dar algunas luces sobre la llamada Conjetura de Katznelson. La charla está pensada para no especialistas.

La explosión de Nash no resuelve singularidades en dimensiones superiores

Dr. Maximiliano Leyton-Álvarez

Universidad de Talca, Chile

Resumen

La existencia de la resolución de singularidades en característica cero fue probada por H. Hironaka, cuyo método se basa en una secuencia de explosiones a lo largo de centros lisos cuidadosamente elegidos. Aunque la prueba original de Hironaka es existencial, actualmente existen pruebas constructivas. No obstante, el paso a paso depende de elecciones, es decir, no es un procedimiento canónico. Con el objetivo de obtener un procedimiento canónico, J. Nash propuso, en los años sesenta, la explosión que lleva su nombre, planteando la pregunta de si su iteración basta para resolver todas las singularidades. Esto fue conocido como la conjetura de la explosión de Nash. En un trabajo conjunto con Federico Castillo (PUC), Daniel Duarte (UNAM, Morelia, México) y Álvaro Liendo (UTALCA), construimos contraejemplos a la conjetura que muestran que, en dimensión mayor o igual a cuatro, la iteración de la explosión de Nash (en su versión normalizada y sin normalizar) no conduce a una resolución de singularidades. Más recientemente, extendimos estos resultados: la versión sin normalizar falla ya en la dimensión 3.

Electromagnetismo computacional, elementos finitos y topología

Dra. Ana Alonso-Rodríguez

Università degli Studi di Trento, Italia

Resumen

Tradicionalmente el análisis del método de los elementos finito ha usado casi exclusivamente herramientas de análisis funcional. Pero en los últimos años se ha apreciado la importancia que tienen algunas herramientas de geometría y topología en la aproximación eficiente de ecuaciones diferenciales. Esta importancia es evidente en el caso de la discretización de campos electromagnéticos porque es natural escribir las ecuaciones de Maxwell usando formas diferenciales y analizar los espacios de elementos finitos como espacios de formas diferenciales localmente polinomiales. Veremos en particular dos problemas donde los aspectos geométricos son particularmente claros: el modelo de las corrientes inducidas y el cálculo de los autovalores del operador curl. En el modelo de las corrientes inducidas se considera típicamente un conductor contenido en una region aislante. Una formulacion particularmente conveniente es la formulación en campo magnético porque la incógnita en el aislante se reduce a la suma del gradiente de un potencial escalar magnético y de un campo armónico, es decir, un campo irrotacional con circulación no nula en al menos un ciclo del aislante. En el problema espectral del operador curl se observa que si el dominio es simplemente conexo el operador es autoadjunto en el espacio de campos vectoriales con la condición al borde curl u · n = 0. Si el dominio no es simplemente conexo, para que el operador sea autoadjunto es necesario imponer condiciones adicionales como, por ejemplo, que la circulación en los ciclos homológicamente no triviales del dominio sea igual a cero. En ambos casos para obtener aproximaciones eficientes es necesario utilizar espacios de elementos finitos que preserven estas propiedades.

Automorfismos de hipersuperficies y el Problema de Gizatullin

Dra. Michela Artebani

Universidad de Concepción

Resumen

Un teorema clásico de Matsumura–Monsky [1] afirma que, salvo pocas excepciones, los automorfismos de una hipersuperficie lisa en un espacio proyectivo están inducidos por automorfismos del espacio ambiente. Dichas excepciones son precisamente las cúbicas planas y las superficies cuárticas en \(\mathbb{P}^3\). Motivado por este resultado, Gizatullin formuló la siguiente pregunta: ¿Todo automorfismo de una cuártica \(S \subset \mathbb{P}^3\) es la restricción de una transformación birracional de \(\mathbb{P}^3\) que preserva \(S\)? En esta charla presentaré un contraejemplo de Oguiso [2], que da una respuesta negativa en general, y comentaré avances recientes debidos a Paiva–Quedo [3] y Araujo–Paiva–Zikas [4], que proveen una respuesta completa a la pregunta para superficies cuárticas generales con número de Picard 2. Finalmente, presentaré algunos resultados obtenidos en colaboración con A. Garbagnati y D. Paiva acerca de la generalización natural de esta pregunta al caso de hipersuperficies K3 contenidas en variedades de Fano.

Referencias

1. H. Matsumura and P. Monsky, On the automorphisms of hypersurfaces, J. Math. Kyoto Univ. 3 (1963/64), 347–361.
2. K. Oguiso, Quartic K3 surfaces and Cremona transformations, arXiv:1110.4726.
3. D. Paiva and A. Quedo, Automorphisms of quartic surfaces and Cremona transformations, J. Pure Appl. Algebra 229 (2025), no. 1, Paper No. 107850.
4. C. Araujo, D. Paiva, and S. Zikas, On Gizatullin’s Problem for quartic surfaces of Picard rank 2, arXiv:2410.08415.

Dos siglos de matemáticas en Chile: tramas, actores, hitos e instituciones

Dr. Claudio Gutiérrez

Universidad de Chile

Resumen

En un contexto atravesado por desafíos sociales, ambientales y culturales cada vez más complejos,la educación matemática está llamada a resignificar su papel en la formación de ciudadanos críticos, reflexivos y comprometidos con el mundo que habitan. En este escenario, la sostenibilidad constituye una oportunidad para dotar de mayor sentido a la enseñanza de las matemáticas, al vincular los aprendizajes escolares con problemáticas reales, relevantes y cercanas a la vida de las personas. Esta conferencia propone una reflexión sobre el potencial de la educación matemática para contribuir a la comprensión de fenómenos contemporáneos, promover el pensamiento crítico y favorecer una participación informada y responsable frente a los retos del presente. Desde esta perspectiva, se plantea que enseñar matemáticas no debiera limitarse al dominio de conceptos y procedimientos, sino abrir posibilidades para interpretar información, analizar situaciones complejas, argumentar con fundamento y tomar decisiones. De manera particular, se pondrá atención al aporte de la educación estadística y probabilística, dada su relevancia para comprender datos, enfrentar la incertidumbre y analizar críticamente la información que circula en la sociedad actual. A partir de ejemplos de aula y experiencias formativas, se mostrará cómo es posible articular educación matemática y sostenibilidad mediante propuestas pedagógicas que favorezcan aprendizajes más significativos, contextualizados y con proyección ciudadana. Por tanto, esta plenaria constituye una invitación a repensar la educación matemática desde su potencial formativo y social, reconociendo que educar matemáticamente también implica ayudar a comprender el mundo, reflexionar sobre sus desafíos y actuar de manera responsable ante un futuro común.